20170513

n を自然数とし, X を 1 以上 n 以下の自然数全てからなる集合とし, X の各元 k に対して G_{k} を群とする.

集合 S_{1} と集合 S_{2} に対して, 定義域が S_{1} で各値が S_{2} の元である写像全体からなる集合を Map(S_{1},S_{2}) とする.

X の各元 k に対して f_{k}∈Map(G_{k},G_{k}) かつ (∀x*1 または ∀x((x∈G_{k})⇒(f_{k}(x) は x の逆元))) とする.

X の各元 k に対して直積の k 番目の成分が G_{k} の n 個の群の直積群を G とし, g_{k}∈Map(G_{k},G_{k}) とし, g_{k} は恒等写像または G_{k} の各元 x に対して g_{k}(x) は x の逆元とし, f∈Map(G,G) とし, ∀x((x∈G)⇒(∀k((k∈X)⇒(f(x)の第 k 成分は g_{k}(xの第 k 成分))))) とすると, f を二個合成したものは恒等写像である.

この命題により, f が恒等写像または f が群の逆元写像または f が複素函数で各値が複素共軛とすると, f を二個合成したものは恒等写像である事が分かる.

*1:x∈G_{k})⇒(f_{k}(x)=x

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